由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所圍成的圖形的面積的最小值是________.
分析:由圖形將陰影部分的面積用定積分表示出來(lái),再利用定積分的運(yùn)算規(guī)則將面積表示為t的函數(shù),進(jìn)行判斷得出面積的最小值
解答:
解:由題意及圖象,曲線y=x
2和直線y=t
2交點(diǎn)坐標(biāo)是(t,t)
故陰影部分的面積是∫
0t(t
2-x
2)d
x+∫
t1(-t
2+x
2)d
x=(t
2x-
x
3)|
0t+(-t
2x+
x
3)|
t1=
令p=
,則p′=4t
2-2t=2t(2t-1),知p=
在(0,1)先減后增,在t=
時(shí)取到最小值,
故面積的最小值是
=
故答案為:
.
點(diǎn)評(píng):本題考查求定積分,解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象與函數(shù)解析式將面積用積分表示出來(lái),利用積分的定義得到關(guān)于變量t的表達(dá)式,再研究其單調(diào)性求出最值,本題運(yùn)算量較大涉及到的考點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,極易因運(yùn)算、變形出錯(cuò).