Question

4．$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的上頂點(diǎn)P，Q（$\frac{4}{3}，\frac{3}$）是橢圓上的一點(diǎn)，以PQ為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+m與x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等時(shí)，證明：以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)O．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9}=1}\\{{c}^{2}-\frac{4}{3}c+\frac{^{2}}{3}=0}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由直線和圓相切，得到m與k的關(guān)系，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B橫縱坐標(biāo)的乘積，再由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$得答案．

解答 解：（1）如圖，p（0，b），Q（$\frac{4}{3}，\frac{3}$），F(xiàn)（c，0），
則$\overrightarrow{FP}=（-c，b）$，$\overrightarrow{FQ}=（\frac{4}{3}-c，\frac{3}）$，
由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9}=1}\\{{c}^{2}-\frac{4}{3}c+\frac{^{2}}{3}=0}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=2，b²=1．
∴題意方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）∵直線y=kx+m與x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，則${m}^{2}=\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
△=8（2k²+1-m²）＞0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$$+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．