Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}$，
（Ⅰ）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，$f（ax-1）+f（\frac{1}{2x}）≤0$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}=1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$遞增
證明：設(shè)x₁＜x₂∈R，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}+\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{3^{x_1}}-{3^{x_2}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}＜0$，
所以f（x）在R上遞增．
（Ⅱ）∵$f（-x）=\frac{{{{（\frac{1}{3}）}^x}-1}}{{{{（\frac{1}{3}）}^x}+1}}=\frac{{1-{3^x}}}{{1+{3^x}}}=-f（x）$，∴f（x）為奇函數(shù)．
∵$f（ax-1）+f（\frac{1}{2x}）≤0$，∴$f（\frac{1}{2x}）≤f（1-ax）$，∴$\frac{1}{2x}≤1-ax$
即$a≤-\frac{1}{{2{x^2}}}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}{（\frac{1}{x}-1）^2}+\frac{1}{2}$，$\frac{1}{x}∈[\frac{1}{2}，1]$，
所以$a≤\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．