Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E為PA中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）已知PA=2AB=2，求二面角D-BE-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）AC交BD于O，連結OE，由已知得EO∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-BE-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：AC交BD于O，連結OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點，
又E為PA中點，∴EO∥PC，
而PC?面BDE，ED?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（Ⅱ）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵PA=2，AB=1，
∴A（0，0，0），D（1，0，0），
E（0，0，1），B（0，1，0），
∴

DE

=(-1，0，1)，

BE

=（0，-1，1），
設面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DE =-x+z=0 n • BE =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
由題意，得平面ABE的法向量

m

=（1，0，0），
設二面角D-BE-A的平面角為α，
cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴二面角D-BE-A的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．