Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x，其中a為常數(shù)．若當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)有極值，則其導(dǎo)數(shù)等于0，先求導(dǎo)，代入求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵f′（x）=

2

x

-ax-3，
∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值，
∴f′（1）=0，
即2-a-3=0，
解得a=-1，
∴f′（x）=

2

x

+x-3=

x2-3x+2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜1，或x＞2，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得1＜x＜2，
故函數(shù)f（x）在（0，1）和（2，+∞）上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值的關(guān)系，需要注意不要忘了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于中檔題