Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）設(shè)函數(shù)g(x)=f(

x

2

)+2，求g（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合正弦函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（II）先求函數(shù)g（x）的解析式，同樣化為y=Asin（ωx+φ）的形式，先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象求函數(shù)的值域即可

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．
（II）∵g(x)=f(

1

2

x)+2=sin(x-

π

6

)+2
而0≤x≤π，所以-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

．
∴當(dāng)x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時(shí)，
g（x）取得最小值-

1

2

+2=

3

2

．
∴g（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值為

3

2

，取得最小值時(shí)x的值為0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角公式的運(yùn)用，兩角差的正弦公式及其應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和值域