Question

如圖，ABCD是一塊邊長為1km的正方形地皮，其中AST是一半徑為akm（0＜a≤1）的扇形小山，其余部分是平地，某開發(fā)商要在平地上建一個矩形停車場，使矩形一個頂點在弧ST上，相鄰兩邊CQ、CR落在正方形的邊BC、CD上，設(shè)∠BAP=θ（0＜θ＜

π

2

），矩形PQCR面積為S．
（1）寫出S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式S（θ）；
（2）函數(shù)S（θ）能否取得最小值，若能，求出最小值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，RP=1-asinθ，PQ=1-acosθ，從而可求S（θ）=（1-asinθ）（1-acosθ），化簡即可；
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，整理得S（θ）=f（t）=

1

2

a²t²-at+1-

1

2

a²，t∈（1，

2

]；可求得其對稱軸t=

1

a

，△=a²（a²-1）．對a分a=1，0＜a＜1討論及可求得答案．

解答：解：（1）RP=1-asinθ，PQ=1-acosθ，
∴S（θ）=（1-asinθ）（1-acosθ）=1-a（sinθ+cosθ）+a²sinθcosθ，θ∈（0，

π

2

）…（6分）
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，則t=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

）知t∈（1，

2

]，sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S（θ）=f（t）=1-at+

1

2

a²（t²-1）=

1

2

a²t²-at+1-

1

2

a²…（8分）
對稱軸t=

a

2× 1 2 a2

=

1

a

，△=a²-4×

1

2

a²（1-

1

2

a²）=a⁴-a²=a²（a²-1）．
當(dāng)a=1時，△=0；
當(dāng)0＜a＜1時，△＜0；
由0＜a≤1知

1

a

≥1，
∴當(dāng)

1

a

≥

2

，即

2

2

時，f（t）_min=f（

2

）=

1

2

a²-

2

a+1．
當(dāng)0＜

1

a

＜

2

，即

2

2

＜a＜1；
當(dāng)a=1時，S（θ）不能取得最小值．
∴f（t）_min=f（

1

a

）=

1

2

（1-a²）．
綜合得當(dāng)0＜a＜1時，
S（θ）能取得最小值 S（θ）_min=

1 2 (1-a2)   ，   2 2 ＜a＜1 1 2 a2- 2 a+1，   0＜a≤ 2 2

…（14分）
當(dāng)a=1時，S（θ）不能取得最小值．

點評：本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，著重考查三角函數(shù)的最值，突出考查換元法與分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．