Question

觀察下列不等式：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…
照此規(guī)律，寫出第n個(gè)不等式，然后判斷這個(gè)不等式是否成立并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)已知中，

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…可猜想第n個(gè)不等式為

2

3

＜

2+n

3+n

，進(jìn)而利用作差法，進(jìn)行證明．

解答： 解：根據(jù)已知中，

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，
…
可猜想第n個(gè)不等式為

2

3

＜

2+n

3+n

，
證明如下：
∵n∈N^*，
∴n＞0且3+n＞0，
∴

2+n

3+n

-

2

3

=

3(2+n)-2(3+n)

3(3+n)

=

n

3(3+n)

＞0，即

2

3

＜

2+n

3+n

．

點(diǎn)評：此題主要考查了歸納推理，不等式證明，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．