Question

已知f （x）=x+1，g （x）=2x+1，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

f(an)(n為奇數(shù)) g(an)(n為偶數(shù))

則數(shù)列{a_n}的前2007項(xiàng)的和為（　�。�

A．5×2²⁰⁰⁸-2008

B．3×2²⁰⁰⁷-5020

C．6×2²⁰⁰⁶-5020

D．6×2¹⁰⁰³-5020

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得a_2n+2=a_2n+1+1，從而可知數(shù)列{a_2n+2}是以2為公比、以a₂=a₁+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．進(jìn)而有a_2n+a_2n+1=a_2n+2a_2n+1=3a_2n+1，故求數(shù)列{a_n}的前2007項(xiàng)的和，分組求和可得．

解答：解：∵a_2n+2=a_2n+1+1=（2a_2n+1）+1=2a_2n+2，
∴a_2n+2+2═2（a_2n+2），
∴數(shù)列{a_2n+2}是以2為公比、以a₂=a₁+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
∴a_2n+2=2×2^n-1，
∴a_2n=2ⁿ-2．
又a_2n+a_2n+1=a_2n+2a_2n+1=3a_2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的前2007項(xiàng)的和為
a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）
=a₁+（3a₂+1）+（3a₄+1）+（3a₆+1）+…+（3a₂₀₀₆+1）
=1+（3×2-5）+（3×2²-5）+（3×2³-5）+…+（3×2¹⁰⁰³-5）
=1+（3×2-5）+（3×2²-5）+（3×2³-5）+…+（3×2¹⁰⁰³-5）
=3×（2+2²+2³+…+2¹⁰⁰³+1-5×1003
=6×（2¹⁰⁰³-1）+1-5×1003=6×2¹⁰⁰³-5020，
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查等比關(guān)系的確定，關(guān)鍵是正確運(yùn)用條件得出a_2n+a_2n+1，故可求．