Question

甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3元和5元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最��？

 

Answer 1

【答案】

供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.

【解析】

試題分析：

解法一：根據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km, 則 ∵BD=40,AC=50－,∴BC=

又設總的水管費用為y元，依題意有：=3(50－x)+5

y′=－3+,令y′=0,解得=30

在(0,50)上，y只有一個極值點，根據實際問題的意義，

函數在=30(km)處取得最小值，此時AC=50－=20(km)

∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.

解法二：設∠BCD=,則BC=,CD=,  

設總的水管費用為f(θ),依題意，有

(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·

∴(θ)=40

令(θ)=0,得cosθ=

根據問題的實際意義，當cosθ=時，函數取得最小值，此時sinθ=,∴cotθ=,

∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.

考點：本題主要考查利用導數求閉區(qū)間上函數的最值。

點評：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明。