【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為矩形,直線平面,,,,點在棱上.

(1)求證:

(2)若的中點,求異面直線所成角的余弦值;

(3)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析:(1)由平面,得;再由得, 平面.(2)先建立空間直角坐標(biāo)系,由,,利用夾角公式可求異面直線所成角的余弦值.(3)由.再求出平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值為.

試題解析:

(1)證明:因為平面,所以,又,所以平面,又平面,故.

(2)因為,所以,又由(1)得,,所以以為坐標(biāo)原點,,,所在直線分別為,軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

,.

所以,,所以,

所以異面直線所成角的余弦值為.

(3)因為平面,所以平面的一個法向量,由的三等分點且此時.在平面中,,所以平面的一個法向量.

所以,又因為二面角的大小為銳角,所以該二面角的余弦值為.

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