Question

已知函數(shù)f(x)=

a

bx-1

，其圖象過(guò)點(diǎn)（2，2）和（5，

1

2

）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性；
（3）求f（x）函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，2）和（5，

1

2

），代入坐標(biāo)可求a、b的值；
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，步驟是①取值，②作差，③判符號(hào)，④下結(jié)論；
（3）由函數(shù)y=

2

x-1

是閉區(qū)間上的減函數(shù)，在區(qū)間的端點(diǎn)上取得最值，求出即可．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

a

bx-1

，圖象過(guò)點(diǎn)（2，2）和（5，

1

2

），∴

a 2b-1 =2 a 5b-1 = 1 2

，
解得：a=2，b=1；∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=

2

x-1

（其中x≠1）；
（2）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)y=

2

x-1

是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)y=

2

x-1

是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)，
所以函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，
即當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2，當(dāng)x=6時(shí)，y_min=

2

5

；

點(diǎn)評(píng)：本題是人教版必修一教材中的例題稍作改編的題目，考查了求函數(shù)解析式，證明函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．