Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

m

72

對于大于1的一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)m的最大值為（　�。�

• A、43
• B、42
• C、41
• D、40

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，通過n=2，假設n=k時等式成立，證明n=k+1時等式也成立，即可證明結果．

解答： 解：n=2時，

1

3

+

1

4

＞

m

72

，∴m＜42．
而m是正整數(shù)，所以取m=41．
下面用數(shù)學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
（1）當n=2時，已證；
（2）假設當n=k時，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

41

72

．
則當n=k+1時，有

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

因為

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

＞0，
所以

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

．
所以當n=k+1時不等式也成立．
由（1）（2）知，對一切正整數(shù)n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
故選C．

點評：本題考查數(shù)學歸納法證明猜想的步驟，注意證明n=k+1時必須用上假設，注意證明的方法，考查計算能力．