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如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）證明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】（Ⅰ）因為

又是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

而平面PAC，所以.

（Ⅱ）設AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，

所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.

由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱錐的體積為.

【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積

 

【答案】

（Ⅰ）見解析     （Ⅱ）12

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2011屆廣東省高考猜押題卷文科數學（一）解析版 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F.

(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱錐A-BDE的體積；
(Ⅱ) 證明PA∥平面EDB；
(Ⅲ) 證明PB⊥平面EFD.

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省高考猜押題卷文科數學（一）解析版 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F.

 

 

(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱錐A-BDE的體積；

(Ⅱ) 證明PA∥平面EDB；

(Ⅲ) 證明PB⊥平面EFD.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省武漢市高三第5次月考數學理卷 題型：解答題

(本小題滿分13分)

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊的中點，AC與DE交于點O，PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求證：PD⊥BC；

(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大��；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在四棱錐P－ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖2為該四棱錐的主視圖和左視圖，它們是腰長為6 cm的全等的等腰直角三角形.

(1)根據圖2所給的主視圖、左視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；

(2)求側棱PA的長.

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