Question

4．已知F是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與雙曲線C₂的一個公共焦點，A，B分別是C₁，C₂在第二、四象限的公共點．若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，則C₂的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)設(shè)左焦點為F，右焦點為F′，再設(shè)|AF|=x，|AF′|=y，利用橢圓的定義，四邊形AFBF′為矩形，可求出x，y的值，進而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，設(shè)左焦點為F，右焦點為F′，
再設(shè)|AF|=x，|AF′|=y，
∵點A為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點，2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF|+|AF′|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AFBF′為矩形，
∴|AF|²+|AF′|²=|FF′|²，
即x²+y²=（2c）²=12，②
聯(lián)立①②得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$，
設(shè)雙曲線C₂的實軸長為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF′|-|AF|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，
∴C₂的離心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，求得|AF|與|AF′|是關(guān)鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．