Question

已知矩陣A=

a b -1 4

，A的兩個特征值為λ₁=2，λ₂=3．
（1）求a，b的值；
（2）求屬于λ₂的一個特征向量

α

．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）利用特征多項式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求a，b的值；
（2）利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應(yīng)的一個特征向量．

解答： 解：（1）令f（λ）=

.

λ-a -b 1 λ-4

.

=（λ-a）（λ-4）+b=λ²-（a+4）λ+4a+b=0，
于是λ₁+λ₂=a+4，λ₁λ₂=4a+b．解得a=1，b=2…5分
（2）設(shè)

α

=

x y

，則A

α

=

1 2 -1 4

x y

=

x+2y -x+4y

=3

x y

=

3x 3y

，
故

x+2y=3x -x+4y=3y

解得x=y．于是

α

=

1 1

…10分．

點評：本題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力及函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．