Question

為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下

	男	女	合計(jì)
需要	40	30
不需要	160	270
合計(jì)

（Ⅰ）將表格填寫完整，并估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)系？
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．
附表：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

專題：

分析：（Ⅲ）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值．
（Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．
（Ⅲ）從樣本數(shù)據(jù)老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調(diào)查時，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．

解答： 解：（Ⅲ）表格填對得（2分），

	男	女	合計(jì)
需  要	40	30	70
不需要	160	270	430
合計(jì)	200	300	500

調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計(jì)值為

70

500

=14%．…（4分）
（Ⅱ）K²的觀測值k=

500×(40×270-30×160)2

200×300×70×430

≈9.967．…（8分）
由于9.967＞6.635，…（9分）
所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)系．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老
年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女
的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，考查利用數(shù)學(xué)知識研究實(shí)際問題的能力以及相應(yīng)的運(yùn)算能力．