Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C與底面ABCD的夾角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1
（1）求異面直線BB₁與CD所成角的余弦值；
（2）求直線AC與平面AB₁B所成角的余弦值；
（3）求三棱錐D₁-ACB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件作B₁E⊥底面ABCD，得到E是AC的中點(diǎn)；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得到各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出兩直線所在向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可．
（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)利用向量求線面角的方法一步步進(jìn)行即可；
（3）先根據(jù)條件求出D₁到平面ACB₁的距離，再代入體積計(jì)算公式即可．
解答：解（1）：因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C與底面ABCD的夾角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1；
所以：作B₁E⊥底面ABCD，此時(shí)E是AC的中點(diǎn)；
AE=BE=CE；∴∠ABC=90°．
∴△ABC為等腰直角三角形．AC=2，CE=AE==B₁E．
∵AD∥BC；
∴底面ABCD為直角梯形．

過(guò)點(diǎn)E分別作AD，AB的平行線，并分別以其為X軸，Y軸，以B₁E所在的直線為Z軸．
則在下底面內(nèi)B（1，-1，0），C（1，1，0），E（0，0，0），A（-1，-1，0），D（-1，0，0）；B₁（0，0，）．D₁（-2，1，）．
∴=（-1，1，），=（-2，-1，0）；=（-2，-2，0），=（2，0，0）．
∴cos＜，＞===．
（2）設(shè)平面AB₁B的一個(gè)法向量=（x，y，z）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231355011511518/SYS201311012313550115115020_DA/15.png">，=（1，1，）．
則⇒⇒=（0，-，1）．
∴cos＜，＞=cosθ===-．
∴直線AC與平面AB₁B所成角的余弦值cos（-θ）=sinθ==．
（3）由第一問(wèn)得=（1，-2，-）．
設(shè)平面ACB₁的一個(gè)法向量=（a，b，c）
則⇒⇒=（1，-1，0）
∴D₁到平面ACB₁的距離d===．
又=AB₁•B₁C=×2×2=2．
故三棱錐D₁-ACB₁的體積v=．d=×2×=．
點(diǎn)評(píng)：本題是道難題．它的難點(diǎn)在于不是直棱柱，空間直角坐標(biāo)系的建立比較麻煩，本題適合程度較高的學(xué)生來(lái)做．