Question

19．若等邊△ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，平面內(nèi)一點M滿足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=2．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$分別用$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CA}$表示，利用等邊三角形對應(yīng)向量的運(yùn)算解答．

解答 解：等邊△ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，平面內(nèi)一點M滿足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MA}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}）$=$-\frac{5}{36}{\overrightarrow{BC}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{5}{36}×12+\frac{2}{9}×12+\frac{1}{6}×12×\frac{1}{2}$=2；
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量的運(yùn)算；關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為利用等邊三角形的邊對應(yīng)的向量表示；注意向量的夾角與三角形的內(nèi)角相等或者互補(bǔ)．