Question

已知有窮數(shù)列{a_n}只有2k項(xiàng)（整數(shù)k≥2），首項(xiàng)a₁=2，設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常數(shù)a＞1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=2

2

2k-1

，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，（n=1，2，3，…，2k），Tn=

1

n

(b1+b2+b3+…+bn)，求證：1≤T_n≤2．

Answer 1

分析：（1）分別表示出S_n和S_n-1．進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1．求得a_n+1=a•a_n，推斷出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n．
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)n的范圍確定b_n的范圍．

解答：解：（1）n≥2時(shí)，Sn=

an+1-2

a-1

，Sn-1=

an-2

a-1

兩式相減得Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，
∴a_n+1=a•a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

a2-2

a-1

=2，
∴a₂=2a，
則，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2•a^n-1．
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，
可得bn=

1

n

log2(a1a2an)
=

1

n

(log2a1+log2a2++log2an)
=

1

n

[1+(1+

2

2k-1

)+(1+

4

2k-1

)++(1+

2n-2

2k-1

)]
=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

∵1≤n≤2k，
故1≤b_n≤2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列遞推式的題難度較大，形式多樣，故應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)．