已知有窮數(shù)列{an}只有2k項(xiàng)(整數(shù)k≥2),首項(xiàng)a1=2,設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1,2,3,…,2k-1)
,其中常數(shù)a>1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a=2
2
n-1
,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=
1
n
log2(a1a2an),(n=1,2,3,…,2k)
,求證:1≤bn≤2.
分析:(1)n≥2時(shí),sn=
an+1-2
a-1
sn-1=
an-2
a-1
兩式相減得Sn-Sn-1=
an+1-an
a-1
,an=
an+1-an
a-1
,an+1=a•an,由此能名求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,可得bn=
1
n
log2(a1a2an)
=
1
n
[n+
n(n-1)
2
2
2k-1
]=1+
n-1
2k-1
,由此能夠證明1≤bn≤2.
解答:解:(1)n≥2時(shí),sn=
an+1-2
a-1
,sn-1=
an-2
a-1
兩式相減得
Sn-Sn-1=
an+1-an
a-1
,an=
an+1-an
a-1

∴an+1=a•an,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=
a2-2
a-1
=2
,
∴a2=2a,
則,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2•an-1
(2)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,可得
bn=
1
n
log2(a1a2an)
=
1
n
(log2a1+log2a2+…+log2an)

=
1
n
[1+(1+
2
2k-1
)+(1+
4
2k-1
)+…+(1+
2n-2
2k-1
)]
=
1
n
[n+
n(n-1)
2
2
2k-1
]=1+
n-1
2k-1

Q1≤n≤2k,∴1≤bn≤2.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意迭代法合理運(yùn)用和合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

10、已知有窮數(shù)列{an}(n=1,2,3,…,6)滿(mǎn)足an∈{1,2,3,…,10},且當(dāng)i≠j(i,j=1,2,3,…,6)時(shí),ai≠aj.若a1>a2>a3,a4<a5<a6,則符合條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知有窮數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)(整數(shù)k≥2),首項(xiàng)a1=2.設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且an+1=(a-1)Sn+2(n=1,2,…,2k-1),其中常數(shù)a>1.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若a=2
2
2k-1
,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=
1
n
log2(a1a2an)
(n=1,2,…,2k),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)若(2)中的數(shù)列{bn}滿(mǎn)足不等式|b1-
3
2
|+|b2-
3
2
|+…+|b2k-1-
3
2
|+|b2k-
3
2
|≤4,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知有窮數(shù)列{an}只有2k項(xiàng)(整數(shù)k≥2),首項(xiàng)a1=2,設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1,2,3,…,2k-1)
,其中常數(shù)a>1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a=2
2
2k-1
,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=log2an,(n=1,2,3,…,2k),Tn=
1
n
(b1+b2+b3+…+bn)
,求證:1≤Tn≤2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知有窮數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)(整數(shù)k≥2),首項(xiàng)a1=2,設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1,2,3,…,2k-1),其中常數(shù)a>1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a=2
2
2k-1
,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=
1
n
log2(a1a2an)
,(n=1,2,3,…,2k),求證:1≤bn≤2;
(3)若(2)中數(shù)列{bn}滿(mǎn)足不等式:|b1-
3
2
|+|b2-
3
2
|+…+|b2k-1-
3
2
|+|b2k-
3
2
|≤4
,求k的最大值.

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