Question

13．已知向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夾角為60^°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，
（1）求$|{\overrightarrow{2a}-\overrightarrow b}|$；
（2）若向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$垂直，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，然后求出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$得答案；
（2）由已知可得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$）=0，展開后整理即可求得k值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夾角為60^°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°=1×2×\frac{1}{2}=1$，
則$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}=4-4×1+4=4$，
∴$|{\overrightarrow{2a}-\overrightarrow b}|$=2；
（2）∵向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$垂直，
∴（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（k+1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+k|\overrightarrow{|}^{2}=1+（k+1）+4k=0$，
解得：k=$-\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是中檔題．