Question

9．已知實數a_i，b_i∈R，（i=1，2，…n），且滿足a₁²+a₂²+…a_n²=1，b₁²+b₂²+…b_n²=1，則a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． n$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{n}$

Answer 1

分析 由條件利用柯西不等式可得（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）=1≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，由此求得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值．

解答 解：∵a₁²+a₂²+…+a_n²=1，b₁²+b₂²+…+b_n²=1，則由柯西不等式可得
（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，
即 1×1≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，故（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²的最大值為1，
故a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值為1，
故選：A．

點評 本題主要考查二維形式的柯西不等式的應用，屬于基礎題．