如圖，三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是的中點

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積的體積．

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）.

解析試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線面平行、線面垂直和幾何體體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先根據(jù)題意作出輔助線，在中，利用中位線的性質(zhì)得，再由線面平行的判定，得證；第二問，由已知條件可以判斷四邊形是正方形，所以對角線互相垂直，所以，又由于第一問得，所以，再由已知證即可，由已知邊長，得，所以，所以為等腰三角形，而為中點，所以為高，得證，再利用線面垂直的判定即可得證；第三問，利用等體積法將三棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到已知條件求體積.
試題解析：（1）證明：連結(jié)，顯然過點
∵分別是的中點,    ∴，
又平面，平面，∴平面，
（2）∵三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，
∴四邊形是正方形，∴，
由（1）知，∴，
連結(jié)，由，知，
∴，又易知是的中點，∴，
∴平面.
（3）因為，所以三棱錐與三棱錐的體積相等，
故.
考點：1.中位線的性質(zhì)；2.線面平行的判定；3.三角形全等；4.線面垂直的判定；5.等體積法.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，M、E分別是和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.

(1)求證：BB1∥平面EFM；
(2)求四面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點

（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．

（1）求證：AC⊥BB1；
（2）若P是棱B1C1的中點，求平面PAB將三棱柱分成的兩部分體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中，是的中點.又已知側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

(1)求證:EM∥平面ABC;
(2)試問在棱DC上是否存在點N,使NM⊥平面? 若存在,確定
點N的位置;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐中，側(cè)棱底面，且底面是邊長為2的正方形，，與相交于點．

（I）證明：；
（II）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面ABC是正三角形.

(1)當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時，畫出三棱錐A—BCD的三視圖;(要求標(biāo)出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在線段AC上是否存在一點E，使ED與平面BCD成30°角？ 若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面四邊形ABCD中，ABC為正三角形，ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將ABC沿AC折起，使點B至點P，且PD=2，M為PA的中點，N在線段PD上。

(I)若PA平面CMN，求證：AD//平面CMN；
(II)求直線PD與平面ACD所成角的余弦值。

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