Question

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4，－3)為△OAB的直角頂點(diǎn)，已知|AB|＝2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零．

(1)求向量的坐標(biāo)；

(2)求圓x²－6x＋y²＋2y＝0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；

(3)是否存在實(shí)效a，使拋物線y＝ax²－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)＝(u，v)，則由 　　即 　　解得或 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A1/0022/0993/8307d6ef57ec147ef5543c53ff2ddfa9/C/Image266.gif" width=26 height=29>＝＋＝(u＋4，v－3)，所以v－3＞0，得v＝8． 　　故＝(6，8)． 　　(2)由＝(10，5)，得B(10，5)，于是直線OB方程為y＝x． 　　由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　(x－3)2＋(y＋1)2＝10． 　　∴圓心為(3，－1)，半徑為． 　　設(shè)圓心(3，－1)關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則 　　解得 　　故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10． 　　(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)，則 　　得 　　即x1，x2為方程x2＋x＋＝0的兩個(gè)相異實(shí)根， 　　于是由Δ＝－4·＞0，得a＞． 　　故當(dāng)a＞時(shí)，拋物線y＝ax2－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)．