已知橢圓的離心率．直線x=t（t＞0）與曲線E交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且△ABC的面積為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：（1）∵橢圓的離心率，
∴．解得a=2．
∴橢圓E的方程為．
（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．
由得．
∴圓C的半徑為．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴，即．
∴弦長．
∴△ABC的面積．
∴
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，經(jīng)過點（1，e），其中e為橢圓的離心率．且橢圓C與直線y=x+
3
有且只有一個交點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點的直線l與橢圓C相交與A，B兩點，第一象限內(nèi)的點P（1，m）在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年重慶市高三九合診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢圓，經(jīng)過點，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個交點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點的直線與橢圓相交與A，B兩點，第一象限內(nèi)的點在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)的面積取得最大值時直線的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂

直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）當(dāng)P不在軸上時，在曲線上是否存在兩個不同點C、D關(guān)于對稱，若存在，

求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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