Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$，若H（x）=f²（x）-2bf（x）+3有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍為（$\sqrt{3}$，2]．

Answer 1

分析 作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$的圖象，從而可化為x²-2bx+3=0在（0，3]上有兩個不同的解；而m（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，在（ $\sqrt{3}$，3]上是增函數(shù)；從而解得．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{ln（{-x}）}|，x＜0\\{x^2}-4x+3，x≥0\end{array}\right.$的圖象如下，
，∵H（x）=[f（x）]²-2bf（x）+3有8個不同的零點，
∴g（x）=x²-2bx+3在（0，3]上有兩個零點；
即x²-2bx+3=0在（0，3]上有兩個不同的解；
故b=$\frac{{x}^{2}+3}{2x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，3]上有兩個不同的解；
而m（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2x}$在（0，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{3}$，3]上是增函數(shù)；
而m（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，m（3）=2；
故$\sqrt{3}$＜b≤2，
故答案為：（$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．