Question

設函數(shù)f（x）=|2x-4|+1，若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)絕對值的意義化簡，可得當x≤2時f（x）≤ax轉化為（a+2）x≥5；當x＞2時f（x）≤ax轉化為（a-2）x≥-3．分別在這兩種情況下根據(jù)a的取值解關于x的不等式，討論不等式的解集是否為空集，從而得到實數(shù)a的取值范圍．最后取這兩種情況下a的取值范圍的并集，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：：①當x≤2時，f（x）=|2x-4|+1=5-2x，
∴不等式f（x）≤ax，即5-2x≤ax，即（a+2）x≥5．
（i）當a=-2時，不等式變?yōu)?≥5，解集為空集，不符合題意；
（ii）當a＜-2時，不等式變?yōu)閤≤

5

a+2

，不等式的解集一定非空，符合題意；
（iii）當a＞-2時，不等式變?yōu)閤≥

5

a+2

，可得當

5

a+2

≤2時不等式的解集非空．
解不等式

5

a+2

≤2得a≥

1

2

．此時a∈（-∞，-2]∪[

1

2

，+∞）．
②當x＞2時，f（x）=|2x-4|+1=2x-3，∴不等式f（x）≤ax，即2x-3≤ax，即（a-2）x≥-3，
（i）當a=2時，不等式變?yōu)?≥-3，解集非空，符合題意．
（ii）當a＜2時，不等式變?yōu)閤≤

3

2-a

，可得當

3

2-a

＞2時不等式的解集非空，
解不等式

3

2-a

＞2，得

1

2

＜a＜2．
（iii）當a＞2時，不等式變?yōu)閤≥

3

2-a

，不等式的解集一定非空，符合題意，此時a∈（

1

2

，+∞）．
綜上所述，可得滿足不等式f（x）≤ax的解集非空的a的取值范圍為（-∞，-2）∪[

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查含有絕對值的函數(shù)f（x），著重考查了絕對值的意義、不等式的解法等知識，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．