Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

+m．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數f（x）的最小值為2，求此函數f（x）的最大值，并指出x取何值時，函數f（x）取到最大值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：綜合題,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合輔助角公式，化簡函數，即可寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，確定sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，由函數f（x）的最小值為2，求出m，再求函數f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

+m，
∴f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+m=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+m
=sin(2x+

π

6

)+m+

1

2

…（4分）
故T=π，遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z…（7分）
（2）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（9分）
由f(x)min=-

1

2

+m+

1

2

=2⇒m=2…（11分）
故f(x)max=1+2+

1

2

=

7

2

，此時x=

π

6

．…（14分）

點評：本題考查向量的數量積公式，輔助角公式，考查三角函數的最值，正確化簡函數是關鍵．