Question

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理即可證明．， ，所以平面 ；

（2）利用空間向量求解，平面與平面所成銳二面角的余弦值即為兩平面的法向量所成角或補(bǔ)角的余弦值．以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求平面的一個法向量；平面的一個法向量，所以則.

(1)平面，平面，

由已知條件得：，，所以平面 （5分）

由（1）結(jié)合已知條件以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：

，，，，，所以

7分

設(shè)是平面的一個法向量，則，

即：，取，則得：

同理可求：平面的一個法向量 10分

設(shè)：平面和平面成角為，

則 12分

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理、空間向量法求二面角.