Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，試確定函數(shù)y=

1

4

a²-f（x）的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）在定義域內解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）令g（x）=

1

4

a²-f（x）=

1

4

a²-lnx+

1

2

ax²-（a-1）x，利用導數(shù)可求得g（x）唯一的極小值，且判斷極小值大于0，由此可得結論；

解答： 解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
由已知得f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x=lnx-x²+x，
f′（x）=

1

x

-2x+1=

1-2x2+x

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
令f′（x）＞0，解得-

1

2

＜x＜1，函數(shù)的定義域是（0，+∞），
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）令g（x）=

1

4

a²-f（x）=

1

4

a²-lnx+

1

2

ax²-（a-1）x，
則g′（x）=-

1

x

+ax-（a-1）=

(ax+1)(x-1)

x

，
∵a＞0，∴ax+1＞0，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0g（x）遞增．
∴g（x）_min=g（1）=

1

4

a²+

1

2

a-（a-1）=

1

4

(a-1)2+

3

4

＞0，
故g（x）的零點個數(shù)為0個．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、零點個數(shù)問題，考查學生分析解決問題的能力．