Question

17．函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設(shè)α∈（0，$\frac{π}{2}$），則f（$\frac{α}{2}$）=2，求α的值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的最大值求出A，通過對(duì)稱軸求出周期，求出ω，得到函數(shù)的解析式；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）通過f（$\frac{α}{2}$）=2，求出sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，通過α的范圍，求出α的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為3，
∴A+1=3，即A=2．…（2分）
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴最小正周期T=π，∴ω=2．…（3分）
故函數(shù)f（x）的解析式為y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；…（4分）
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，…（5分）得$2kπ-\frac{π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{2π}{3}$，
∴$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$．…（7分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$k∈Z；…（8分）
（3）∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（9分）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，…（10分）
∴α-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，故α=$\frac{π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．