Question

2．已知z₀=2+2i，|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
（1）求復數(shù)z在復平面內對應的點的軌跡方程，并說明它是什么曲線．
（2）求z為何值時，|z|有最大、最小值，并求出|z|有最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）設z=x+yi（x，y∈R），代入|z-z₀|=$\sqrt{2}$，利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式化簡即可得出．
（2）當Z點在OZ ₀的連線上時，|z|有最大值或最小值．

解答 解（1）設z=x+yi（x，y∈R），由|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
即|x+yi-（2+2i）|=|（x-2）+（y-2）i|=$\sqrt{2}$，解得（x-2）²+（y-2）²=2，
∴復數(shù)z點的軌跡是以Z₀（2，2）為圓心，
半徑為$\sqrt{2}$的圓．                               
（2）當Z點在OZ ₀的連線上時，|z|有最大值或最小值，
∵|OZ ₀|=2$\sqrt{2}$，半徑r=$\sqrt{2}$，
∴當z=1+i時，|z|_min=$\sqrt{2}$，
當z=3+3i時，|z|_max=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、模的計算公式、幾何意義、圓的復數(shù)形式的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．