Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=a_n×3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）由（1）可得b_n=a_n×3ⁿ=（2n+1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ，
3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=9+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+

2×3×(3n-1)

3-1

-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．