Question

設(shè)f（x）=6cos²x-

3

sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中銳角A滿足f(A)=3-2

3

，B=

π

12

，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，求(

a

b

+

b

a

)-

c2

ab

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的最大值，再將ω的值代入周期公式，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由第一問求出的f（x）解析式，根據(jù)f（A）=3-2

3

，求出cos（2A+

π

6

）的值，由A為銳角，求出2A+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出2A+

π

6

的度數(shù)，進而確定出A的度數(shù)，再由B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，確定出cosC的值，將所求式子括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用同分母分式的減法法則計算，整理后利用余弦定理變形，將cosC的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=6cos²x-

3

sin2x
=6×

1+cos2x

2

-

3

sin2x
=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）+3
=2

3

cos（2x+

π

6

）+3，
∵-1≤cos（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值為2

3

+3；
又ω=2，∴最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由f（A）=3-2

3

得：2

3

cos（2A+

π

6

）+3=3-2

3

，
∴cos（2A+

π

6

）=-1，
又0＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=π，即A=

5

12

，
又B=

π

12

，∴C=

π

2

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=0，
則（

a

b

+

b

a

）-

c2

ab

=

a2+b2-c2

ab

=2×

a2+b2-c2

2ab

=2cosC=0．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．