Question

（2012•貴州模擬）已知函數(shù)f(x)=

x2+a

ex

(x∈R)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71）
（1）當(dāng)a=-15時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

對(duì)一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；由f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間
（2）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為（x-1）²≤1-a在區(qū)間[

1

e

，e]上恒成立，求出x∈[

1

e

，e]時(shí)，（x-1）²的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）令a=1，則f(x)=

x2+1

ex

，可得f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，對(duì)于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)，從而可證結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)a=-15時(shí)，f（x）=（x²-15）e^-x
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=-（x-5）（x+3）e^-x
令f′（x）=0得x=-3或x=5
由f′（x）＞0，可得-3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜-3或x＞5
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-3，5），減區(qū)間為（-∞，-3），（5，+∞）
（2）解：f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x
∵f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上是增函數(shù)，∴f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x≥0在區(qū)間[

1

e

，e]上恒成立
∴（x-1）²≤1-a在區(qū)間[

1

e

，e]上恒成立
當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，（x-1）²的最大值為（e-1）²，∴（e-1）²≤1-a
∴a≤2e-e²
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2e-e²]；
（3）證明：令a=1，則f(x)=

x2+1

ex

，
∴f′（x）=-（x-1）²e^-x≤0
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，對(duì)于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)
即

k2+1

ek

＜

5

4 e

⇒

n

k=1

k2+1

ek

＜

5n

4 e

即

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

．                          …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明．恒成立問(wèn)題通常利用分離參數(shù)法，利用函數(shù)的最值求解．