Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f （x）在點(diǎn)（0，f （0））處的切線方程；
（Ⅱ）求f （x）的極小值；
（Ⅲ）若對所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0解出其增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0解出其減區(qū)間，并列出如圖的x變化時，f'（x），f（x）變化情況進(jìn)行判斷極值即可．
（Ⅲ）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，則g'（x）=2ln（2x+1）+2-2a=2[ln（2x+1）+1-a]．令g'（x）=0，得ln（2x+1）=a-1，下面對a進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a≤1時，（2）當(dāng)a＞1時，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097908058/SYS201310251250310979080020_DA/0.png">，又∵f'（x）=2ln（2x+1）+2，
∴k_切線=f'（0）=2，切點(diǎn)為O（0，0），∴所求切線方程為y=2x．…（2分）
（Ⅱ） 設(shè)f'（x）=0，得ln（2x+1）=-1，得；f'（x）＞0，得ln（2x+1）＞-1，得；f'（x）＜0，得ln（2x+1）＜-1，得；
則．…（6分）
（Ⅲ）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，
則g'（x）=2ln（2x+1）+2-2a=2[ln（2x+1）+1-a]．
令g'（x）=0，得ln（2x+1）=a-1，得；g'（x）＞0，得ln（2x+1）＞a-1，得；g'（x）＜0，得ln（2x+1）＜a-1，得；
（1）當(dāng)a≤1時，a-1≤0，∵，
∴對所有x≥0時，都有，于是g'（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
又g（0）=0，于是對所有x≥0，都有g(shù)（x）≥g（0）=0成立．
故當(dāng)a≤1時，對所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立．
（2）當(dāng)a＞1時，a-1＞0，∵，
∴對所有，都有g(shù)'（x）＜0恒成立，
∴g（x）在上是減函數(shù)．
又g（0）=0，于是對所有，都有g(shù)（x）≤g（0）=0．
故當(dāng)a＞1時，只有對僅有的，都有f（x）＜2ax．
即當(dāng)a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f（x）≥2ax．
綜合（1），（2）可知實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，1]．…（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程\利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究清楚函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)最值的判斷方法確定出函數(shù)的最值，此題規(guī)律性強(qiáng)．