Question

5．第五屆全國綠色運動健身大賽于2015年10月24日在安徽池州開賽．據了解，本屆綠運健身大賽以“綠色池州、綠色運動、綠色生活”為主題．
為調查某社區(qū)年輕人的周末生活狀況，研究這一社區(qū)年輕人在周末的休閑方式與性別的關系，隨機調查了該社區(qū)年輕人80人，得到下面的數(shù)據表：

休閑方式 性別	逛街	上網	合計
男	10	50	60
女	10	10	20
合計	20	60	80

（1）根據以上數(shù)據，能否有99%的把握認為“周末年輕人的休閑方式與性別有關系”？
（2）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查3名在該社區(qū)的年輕男生，設調查的3人在這一段時間以上網為休閑方式的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根據提供的列聯(lián)表，計算觀測值K²，比較數(shù)表即可得出正確的結論；
（2）以題意，得出隨機變量X的可能取值與每個男性在周末以上網為休閑方式的概率，
【方法一】計算X對應的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學期望值．
【方法二】根據題意得X～B（3，$\frac{5}{6}$），寫出P（X=k）與數(shù)學期望值．

解答 解：（1）根據提供的列聯(lián)表得，
K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{80{×（10×10-10×50）}^{2}}{60×20×20×60}$
=$\frac{80}{9}$
≈8.889＞6.635，
所以有99%的把握認為“周末年輕居民的休閑方式與性別有關”；
（2）以題意，隨機變量X的取值為0、1、2、3，
且每個男性在周末以上網為休閑方式的概率為P=$\frac{5}{6}$；
【方法一】根據題意得，P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{1}{6}）}^{3}$=$\frac{1}{216}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{6}）}^{2}$•$\frac{5}{6}$=$\frac{15}{216}$，
P（X=2）${C}_{3}^{2}$•$\frac{1}{6}$•${（\frac{5}{6}）}^{2}$=$\frac{75}{216}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{5}{6}）}^{3}$=$\frac{125}{216}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{125}{216}$

所以數(shù)學期望EX=0×$\frac{1}{216}$+1×$\frac{15}{216}$+2×$\frac{75}{216}$+3×$\frac{125}{216}$=$\frac{5}{2}$．
【方法二】根據題意得，X～B（3，$\frac{5}{6}$），
所以P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{1}{6}）}^{3-k}$•${（\frac{5}{6}）}^{k}$，k=0，1，2，3；
數(shù)學期望EX=np=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算問題，是中檔題目．