Question

15．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2$\sqrt{3}$，DE⊥面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{2}{3}$BD．
（1）求證：FB∥面ACE；
（2）若二面角C-BF-D的大小為60°，求CF與面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設AC交BD于O，連接EO，求出DB=3．證明AD⊥DB，然后證明EO∥FB．即可證明FB∥面ACE．
（2）以DA，DB，DE所在直線建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面BCF的法向量，平面BDEF的一個法向量，利用空間向量的數量積求解直線CF與面ABCD所成角的正弦．

解答 解：（1）證明：設AC交BD于O，連接EO，在△ABD中，
由余弦定理可得：DB=3．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥DB，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．
∴$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$，∴$BO=\frac{2}{3}BD=EF$，
又EF∥BD，∴四邊形BOEF為平行四邊形．
∴EO∥FB．
又∵EO?面ACE，F(xiàn)B?面ACE，
∴FB∥面ACE．
（2）∵DE⊥面ABCD
∴DE⊥DA，DE⊥DB，
分別以DA，DB，DE所在直線建立如圖所示空間直角坐標系，
則$B（0，3，0），C（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，設DE=h，則F（0，2，h）
∴$\overrightarrow{BC}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{BF}=（0，-1，h）$，
設平面BCF的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_0}-\frac{3}{2}{y_0}=0}\\{-{y_0}+h{z_0}=0}\end{array}}\right.$，
取z₀=1，有$\overrightarrow{n_1}=（-\sqrt{3}h，h，1）$
易知平面BDEF的一個法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$
∴$|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=cos{60°}$
解得$h=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
∴$\overrightarrow{CF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，易知面ABCD的一個法向量$\overrightarrow{n_3}=（0，0，1）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{n_3}＞|=\frac{{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n_3}|}}{{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{n_3}|}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{4}}}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}}=\frac{1}{3}$
∴直線CF與面ABCD所成角的正弦為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查空間向量的應用，二面角的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．