Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）在定義域內(nèi)總是增函數(shù)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x∈R，分母2^x+1有意義，即可得出；
（2）利用增函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用奇函數(shù)的定義即可得出．

解答： （1）解：當(dāng)x∈R，分母2^x+1有意義，∴函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

的定義域?yàn)镽．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由x₁＜x₂可知0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a取任意實(shí)數(shù)，f（x）都為其定義域上的增函數(shù)．
（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
由f（-x）=-f（x），得a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

解得a=1．
∴存在實(shí)數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、定義域，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．