Question

16．在三棱錐A-BCD中，AB=2$\sqrt{6}$，△ACD和△BCD均是邊長為4的等邊三角形，則三棱錐外接球的表面積為$\frac{80π}{3}$．

Answer 1

分析 取AB，CD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后計算球的表面積．

解答 解：取AB，CD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，
由題意知AF⊥BF，AF=BF，如圖所示；
EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{6}$，
易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，
連接OA，OC，有R²=AE²+OE²，R²=CF²+OF²，
∴OF²-OE²=${（\sqrt{6}）}^{2}$-2²=2，
∴（OE+OF）（OF-OE）=2，
∴OF-OE=$\frac{2}{\sqrt{6}}$；
又OF+OE=$\sqrt{6}$，
解得OF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，
∴R²=2²+${（\frac{2\sqrt{6}}{3}）}^{2}$=$\frac{20}{3}$，
所以外接球的表面積為S=4πR²=$\frac{80π}{3}$．
故答案為：$\frac{80π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算問題，也考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是綜合題．