Question

8．等差數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，滿足：a_n+1＞a_n且a₁a₂-8a₁+a₂-13=0，數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={n^2}（n∈{N^*}）$，數(shù)列{a_n}與{b_n}所有公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列{c_n}，數(shù)列{d_n}滿足${d_n}=\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}}$，則4d_n-c_2n-1的最大值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式，再根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，歸納出數(shù)列{c_2n-1}的通項(xiàng)公式，再利用放縮法求出d_n，構(gòu)造函數(shù)f（n）=4d_n-c_2n-1=-25n²+36n-9，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求出最大值

解答 解∵a₁a₂-8a₁+a₂-13=0，
∴（a₁+1）（a₂-8）=5=1×5，
∵等差數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴a₁+1≥2，
∴a₁+1=5，a₂-8=1
解得a₁=4，a₂=9，
∴公差d=9-4=5
∴a_n=5n-1，
∴數(shù)列{a_n}為4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，…，
∵b_n=n²，則為1，4，9，16，25，36，49，…，
∵數(shù)列{a_n}與{b_n}所有公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列{c_n}，
∴{c_n}為4，9，49，64，144，169，…，
∴c_2n-1=（5n-3）²，
∵數(shù)列{d_n}滿足${d_n}=\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}}$
∵1+$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{_{n+1}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$≤1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{（1+1）^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∴d_n≤$\frac{3}{2}$n，
∴4d_n-c_2n-1=6n-（5n-3）²=-25n²+36n-9，
設(shè)f（n）=-25n²+36n-9，可知f（n）屬于單調(diào)遞減數(shù)列，
則f（n）≤f（1）=6-4=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和和放縮法，以及數(shù)列的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于難題