【題目】已知焦距為2的橢圓W: (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A1,A2,上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M(x0,y0)為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),且四條直線MA1,MA2,MB1,MB2的斜率之積為.
(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖所示,點(diǎn)A,D是橢圓W上兩點(diǎn),點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,AD⊥AB,點(diǎn)C在x軸上,且AC與x軸垂直,求證:B,C,D三點(diǎn)共線.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì),建立方程求出a,b即可.
(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,利用消元法結(jié)合設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解即可.
試題解析:
(1)由題意可知:2c=2,c=1,a2-b2=1,
∵M(x0,y0)為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),
∴,=(a2-),=(b2-),
==,
==()2=,則a2=2b2,
∴a2=2,b2=1,
∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:不妨設(shè)點(diǎn)A(x1,
∵A,D在橢圓上,,=0,即(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,
∴=-,
由AD⊥AB,
∴kADkAB=-1,=-1,(-,)=-1,
∴=,
∴kBD-kBC=-=-=0,
kBD=kBC,
∴B,C,D三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.
(Ⅰ)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目;
(Ⅱ)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,
(1)列出所有可能的抽取結(jié)果;
(2)求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f1(x)、f2(x)、h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x),那么稱h(x)為f1(x)、f2(x)的和諧函數(shù).
(1)已知函數(shù)f1(x)=x﹣1,f2(x)=3x+1,h(x)=2x+2,試判斷h(x)是否為f1(x)、f2(x)的和諧函數(shù)?并說明理由;
(2)已知h(x)為函數(shù)f1(x)=log3x,f2(x)=log x的和諧函數(shù),其中a=2,b=1,若方程h(9x)+th(3x)=0在x∈[3,9]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程;
(2)如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為,對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”,求的取值范圍;
(3)當(dāng), 時(shí),直線交橢圓于, 兩點(diǎn),若點(diǎn), 的“伴隨點(diǎn)”分別是, ,且以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1Cl中,M,N分別為CC1,A1B1的中點(diǎn).
(I)證明:直線MN//平面CAB1;
(II)BA=BC=BB1,CA=CB1,CA⊥CB1,∠ABB1=60°,求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠家擬在2017年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)(單位:萬件)與年促銷費(fèi)用(單位:萬元)()滿足( 為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2017年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元.每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2017年該產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬元)表示為年促銷費(fèi)用(單位:萬元)的函數(shù);
(2)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙: 與⊙: ,以, 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓: 經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)、是橢圓上的兩點(diǎn),若直線與的斜率之積為,試問的面積是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=(﹣2m2+m+2)xm+1為偶函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣2(a﹣1)x+1在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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