Question

已f（x）=

1

3

x3+ax2+

8

9

x+bg（x）=

1

3

x3+m2x-

2

3

m+1，且函數(shù)f（x）在x=

2

3

處取得極值

20

81

．
（I）求f（x）的解析式與單調區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）已知f（x）的解析式，對f（x）進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=

2

3

處取得極值

20

81

可得f′（

2

3

）=0，f（

2

3

）=

20

81

，可以得到f（x）的解析式，然后利用導數(shù)求f（x）的單調區(qū)間；
（II）假設存在，則由（I）已知f（x）的單調區(qū)間，當x₁∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，進而求出3f（x）的范圍，對于g（x）進行求導發(fā)現(xiàn)其為增函數(shù)，從而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后進行判斷；

解答：解：（I）f′(x)=x2+2ax+

8

9

，f′(

2

3

)=

4

9

+

4

3

a+

8

9

=0得a=-1，
且f(

2

3

)=

20

81

，b=0，則 f(x)=

1

3

x3-x2+

8

9

x
f′(x)=x2-2x+

8

9

令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；
f′(x)＜0得

2

3

＜x＜

4

3

；
∴f(x)的遞增區(qū)間為(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)； 
遞減區(qū)間為(

2

3

，

4

3

)

（ II）由（1）得

x	-1	（-1， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ， 4 3 ）	4 3	（ 4 3 ，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 20 9	增	20 81	減	16 81	增	4 9

所以當x₁∈[1，2]時，-

20

9

≤f（x₁）≤

4

9

，-

20

3

≤3f（x₁）≤

4

3

…（10分）
假設對任意的x₁∈[-1，2]時都存在x₀∈[0，1]時使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
設g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則要求T≥

4

3

，t≤-

20

3

又g'（x）=x²+m²，所以當x₀∈[0，1]時時T=g(1)=

1

3

+m2-

2

3

m+1≥

4

3

，m≥

2

3

，或m≤0
且t=g(0)=-

2

3

m+1≤-

20

3

，m≥

23

2

．
綜上，m≥

23

2

；

點評：此題是關于導數(shù)應用的綜合題，考查的知識點比較全面，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，是一道難題；