Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有極值．
（Ⅰ）求c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)解析式f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，我們易求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）的解析式，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有極值，方程f′（x）=x²-x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，構(gòu)造關(guān)于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，則f′（2）=0，求出滿(mǎn)足條件的c值后，可以分析出函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d的單調(diào)性，進(jìn)而分析出當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的最大值，又由當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，
∴f′（x）=x²-x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x²-x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
從而△=1-4c＞0，
∴c＜

1

4

．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-1，2]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴x＜0時(shí)，f（x）在x=-1處取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0時(shí)，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范圍是（-∞，-7）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．