Question

9．已知$\frac{{{{cos}^2}（α-\frac{π}{2}）}}{{sin（\frac{5π}{2}+α）•sin（π+α）}}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sin2α+cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由三角函數的誘導公式化簡求值得答案；
（Ⅱ）直接由二倍角公式化簡再進一步化成正切函數計算得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{{{cos}^2}（α-\frac{π}{2}）}}{{sin（\frac{5π}{2}+α）•sin（π+α）}}=\frac{{{{sin}^2}α}}{cosα•（-sinα）}=-\frac{sinα}{cosα}=-tanα=\frac{1}{2}$，
∴$tanα=-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$sin2α+cos2α=2sinα•cosα+{cos^2}α-{sin^2}α=\frac{{2sinα•cosα+{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$
=$\frac{{2tanα+1-{{tan}^2}α}}{{{{tan}^2}α+1}}=\frac{{2×（-\frac{1}{2}）+1-{{（\frac{1}{2}）}^2}}}{{{{（\frac{1}{2}）}^2}+1}}=-\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了三角函數的化簡求值，考查了誘導公式的運用，是基礎題．