Question

設(shè)（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n≥2，n∈N），則a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：采用賦值法，令x=1，3ⁿ=a+a₁+a₂+…+a_2n①，再令x=-1，可得1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n②兩式作差，再求出a₁即可求得a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1的值．
解答：解：∵（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n≥2，n∈N），
∴令x=1，3ⁿ=a+a₁+a₂+…+a_2n，①
再令x=-1，可得1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n，②
①-②得：a₁+a₃+…+a_2n-1=，
又（1+x+x²）ⁿ=[x²+（1+x）]ⁿ，其展開(kāi)式中T₁=C_nⁿ（x²）（1+x）ⁿ，從中可求x的系數(shù)，它來(lái)自（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)，為a₁=C_n¹=n，
∴a₃+a₅+a₇+…+a_2n-1=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于x的系數(shù)a₁的確定，著重考查賦值法及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．