Question

已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx(a∈R)，
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實數(shù)a的值；
(2)求證：f(x)≥0恒成立的充要條件是a=1；
(3)若a＜0，且對任意x₁，x₂∈(0，1]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)因為，所以f′(1)=1-a，
所以曲線y=f(x)在x=1處切線的斜率為1-a，
因為曲線y=f(x)在x=1處的切線為3x-y-3=0，
所以1-a=3，解得a=-2。
(2)①充分性：
當(dāng)a=1時，f(x)=x-1-lnx，，
所以當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，
所以f(x)≥f(1)=0．
②必要性：
，其中x＞0，
(ⅰ)當(dāng)a≤0時，因為f′(x)＞0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，
而f(1)=0，所以當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)＜0，與f(x)≥0恒成立相矛盾，
所以a≤0不滿足題意；
(ⅱ)當(dāng)a＞0時，因為當(dāng)x＞a時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在(a，+∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜a時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(0，a)上是減函數(shù)，
所以f(x)≥f(a)=a-1-alna，
因為f(1)=0，所以當(dāng)a≠1時，f(a)＜f(1)=0，此時與f(x)≥0恒成立相矛盾，
所以a=1；
綜上所述，f(x)≥0恒成立的充要條件是a=1．
(3)由(2)可知，當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，
又函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1，則，
所以等價于f(x₂)-f(x₁)≤，
即，
設(shè)，
則等價于函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，1]上是減函數(shù)，
因為，
所以x²-ax-4≤0在x∈(0，1]上恒成立，即在x∈(0，1]上恒成立，
即a不小于在區(qū)間(0，1]內(nèi)的最大值，
而函數(shù)在區(qū)間(0，1]上是增函數(shù)，
所以的最大值為-3，
所以a≥-3，
又a＜0，
所以a∈[-3，0)．