【題目】在圓內(nèi)有一點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程.
(Ⅱ)若動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).問是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線總相切.若存在,求出該定圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在定圓總與直線相切
【解析】
(Ⅰ)由點(diǎn)在線段的上,結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得,從而由橢圓的定義可得結(jié)果;(Ⅱ)直線斜率不存在時(shí),原點(diǎn)到直線的距離為,直線斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,解消去得方程:,利用向量垂直數(shù)量積為零,結(jié)合韋達(dá)定理可得,由點(diǎn)點(diǎn)直線距離公式可得原點(diǎn)到直線的距離,進(jìn)而可得結(jié)果.
(Ⅰ)圓的圓心為,半徑為
點(diǎn)在線段的垂直平分線上
又點(diǎn)在線段的上
由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓,
,故點(diǎn)的軌跡方程為
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的圓.設(shè), .
由已知,以為直徑的圓恒過原點(diǎn),即,所以.
當(dāng)直線垂直于軸時(shí), , ,所以,又,解得,
不妨設(shè), 或, ,即直線的方程為或,此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,解消去得方程: 因?yàn)橹本與橢圓交于, 兩點(diǎn),所以方程的判別式
即,且, .
由,得 ,
所以整理得(滿足).
所以原點(diǎn)到直線的距離.
綜上所述,原點(diǎn)到直線的距離為定值,即存在定圓總與直線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查,在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表,得到如圖的頻率分布直方圖(圖1).
(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù);
(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對(duì)年級(jí)名次在1~50名和951~1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到圖2中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)。
求證:(1)PA∥平面BDE ;
(2)平面PAC平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖,則下列描述中不正確的是( )
A. 與去年同期相比2018年第一季度五個(gè)省的GDP總量均實(shí)現(xiàn)了增長
B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C. 2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)
D. 去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a>0,且a≠1,函數(shù)y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則實(shí)數(shù)a的值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為.
(1)若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,直線,求直線截拋物線所得的弦長;
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線,兩切線相交于點(diǎn),若分別表示直線與直線的斜率,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)(為參數(shù)).以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地4個(gè)蔬菜大棚頂部,陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上,這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜,成為該地區(qū)居民爭相購買的對(duì)象,過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時(shí))都在30以上,其中不足50的周數(shù)大約5周,不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周,超過70的大約有10周,根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種改良黃瓜每個(gè)蔬菜大棚增加量(百斤)與每個(gè)蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號(hào)液體肥料(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖,用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;并根據(jù)所求線性回歸方程,估計(jì)如果每個(gè)蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號(hào)肥料10千克,則這種改良黃瓜每個(gè)蔬菜大鵬增加量是多少斤?
(2)因蔬菜大棚對(duì)光照要求較大,某光照控制儀商家為應(yīng)對(duì)惡劣天氣對(duì)光照的影響,為該基地提供了部分光照控制儀,該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運(yùn)行,但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量限制,并有如下關(guān)系:
周光照量(單位:小時(shí)) | 30<X<50 | ||
光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) | 3 | 2 | 1 |
若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行,則該臺(tái)光照儀周利潤為4000元;若某臺(tái)光照儀未運(yùn)行,則該臺(tái)光照儀周虧損500元,欲使商家周總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)?
附:回歸方程系數(shù)公式: , .
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