已知a>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,q:不等式x+|x-2a|>1的解集為R,若p和q中有且只有一個(gè)命題為真命題,求a的取值范圍.
分析:先通過(guò)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出p為真命題的a的范圍,再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求絕對(duì)值函數(shù)的最值進(jìn)一步求出命題q為真命題的a的范圍,分p真q假與p假q真兩類求出a的范圍即可.
解答:解 由函數(shù)y=a
x在R上單調(diào)遞減知0<a<1,
所以命題p為真命題時(shí)a的取值范圍是0<a<1,
令y=x+|x-2a|,
則
y=不等式x+|x-2a|>1的解集為R,
只要y
min>1即可,
而函數(shù)y在R上的最小值為2a,
所以2a>1,
即
a>.
即q真?
a>.
若p真q假,則
0<a≤;
若p假q真,則a≥1,
所以命題p和q有且只有一個(gè)命題正確時(shí)a的取值范圍是
0<a≤或a≥1.
點(diǎn)評(píng):解決復(fù)合命題的真假問(wèn)題一般通過(guò)真值表將復(fù)合命題的真假問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題的真假來(lái)解決.